Vídeo - Isto é Matemática T02E03 A Matemática do Euromilhões

Vídeo - Isto é Matemática T02E02 A Parábola da Parábola - parte 2

Vídeo - Isto é Matemática T02E01 A Parábola da Parábola - Parte 1

Biografia - M.C. Escher

A Matemática de M.C.Escher

Desta vez trago-vos um tema diferente. É sobre o artista gráfico holandês M. C. Escher.
Escher conseguiu aplicar a Matemática, mais precisamente a Geometria, aos seus trabalhos. As suas obras são conhecidas pelo irreal, ilusão espacial e repetição de figuras geométricas. Embora tenha sido péssimo aluno a Matemática e a Artes, Escher consegue cativar reputados matemáticos e cristalógrafos. Ele próprio afirmou que, por vezes, se sentia mais perto do domínio da Matemática que os seus colegas matemáticos! Observando cuidadosamente as suas gravuras, apercebemo-nos das estruturas complexas, criadas geometricamente, que requerem várias observações até se compreender a gravura — se a conseguirem compreender...!!
Escher baseou-se em figuras geométricas de azulejos mouros e na Cristalografia para criar os seus trabalhos. Mas foi mais longe! Pegou nos seus simples desenhos e repetiu-os em série no plano, aplicando múltiplas deslocações e deformações geométricas do desenho base. Estas séries repetem-se até ao infinito, unicamente limitadas pelos limites do papel!

De facto, Escher começou por construir as suas ideias com figuras geométricas. No entanto, o truque engenhoso foi substituir as figuras por pássaros, peixes, lagartos... sem criar espaços perdidos! Mas nunca abandonou os ideais geométricos da translação, simetria, rotação e inclinação. De um modo geral, Escher substituiu as aborrecidas figuras geométricas por outras mais belas e atraentes, criando um maior sentido do uso da Geometria.

Vida e Obra
Se, depois desta pequena introdução, ainda estiveres interessado... poderás saber bastante mais da sua vida em World of Escher. Esta deve ser a primeira página a ser acedida, pois tem a maior concentração de informação sobre Escher. Além de uma Biblioteca (Library), inclui ainda uma loja de Souvernirs, um Concurso (experimentem), e uma Galeria de Arte. Nesta, clica sobre o ficheiro para ter uma análise e melhor reprodução.
Se quiseres uma maior colecção de obras, dirige-te à pagina de David Mcallister ou ThinkQuest 1997 Team 11750. Em ambos os casos, não te esqueças de clicar sobre as obras, para teres uma imagem maior. Se achares que não é suficiente, ou a última pecar pela lentidão de acesso, experimenta (aconselhável) um dos dois sites de FTP: o SUNET ou o deYale.

A Matemática
Perante tanta Arte, falta-nos ainda a nossa querida base científica: a Matemática. A informação sobre este tópico é quase inexistente. Mas, com muito esforço, consegui! NestaTurma de Matemática encontras análises de várias obras, com mini-exposições da técnica usada. Observa bem as páginas introdutórias, onde se mostram estudos gerais de aplicações simples. Aprenderás mais aqui, do que nas análises singulares. Repara nas pequenas alterações feitas; nas interpenetrações de figuras contíguas, alterando-lhes a cor; na inclinação das figuras. Aconselho vivamente a visita a esta página, pois é muito atraente e cativante. Este factor é condicionante para entender a complexidade da Geometria de Escher.

Uma outra página, mais complexa, é a de William Chow Aqui tenta-se explicar esta teoria de grafismos, para a aplicarmos a programas de computador. Infelizmente, a inexistência de imagens dificulta muito a sua compreensão. Por isso, é prioritário visitares a primeira página, e, só depois, esta.

Um Desafio...
Em todas as páginas, os infonautas são desafiados a criarem um gráfico à la Escher!! Toma como exemplos os de Jim McNeill ou os de HansKuiper. Esta última tem uma vasta colecção de links sobre este tema. Admira-te!!
Mas se, ainda assim, existir dificuldade em perceber toda esta Geometria de Escher, faz como eu: tenta criar as tuas próprias figuras. Será difícil, a princípio, mas muito cativante. Este é o verdadeiro encanto desta arte.
Para te facilitar, dar-te-ei algumas dicas. Toma o meu molde como exemplo.

Comecei com uma figura muito simples que me parecesse fácil de encadear (um peixe), e, só mais tarde, criei variações; eis o resultado. É importante que esta simples figura tenha uma simetria, mesmo que só aproximadamente, como a minha. Facilitará bastante o desenho do molde, se o inserires num rectângulo. (Se quiseres estar em vantagem relativamente a Escher, trabalha num computador.) Desenha só uma das metades da figura, criando uma segunda simetria implícita, e tenta criar novos moldes baseados no primeiro! Ao repetires o molde na tua obra, aplicando-lhe transformações geométricas, irás reparar que metade da vizinhança exterior é um cópia da metade interior do molde; parece óbvio (repara no meumolde final e na respectiva "obra"!), mas se observares os trabalhos dele, este segredo não é tão evidente. Logo, as várias silhuetas formam conjuntos sem quaisquer espaços perdidos; este ponto fulcral confunde o nosso pensamento, e é aqui que Escher demonstra a sua genialidade!

Rudolf Appelt

Biografia - M. C. Escher.

Desta vez trago-vos um tema diferente. É sobre o artista gráfico holandês M. C. Escher.
    Escher conseguiu aplicar a Matemática, mais precisamente a Geometria, aos seus trabalhos. As suas obras são conhecidas pelo irreal, ilusão espacial e repetição de figuras geométricas. Embora tenha sido péssimo aluno a Matemática e a Artes, Escher consegue cativar reputados matemáticos e cristalógrafos. Ele próprio afirmou que, por vezes, se sentia mais perto do domínio da Matemática que os seus colegas matemáticos! Observando cuidadosamente as suas gravuras, apercebemo-nos das estruturas complexas, criadas geometricamente, que requerem várias observações até se compreender a gravura — se a conseguirem compreender...!!
    Escher baseou-se em figuras geométricas de azulejos mouros e na Cristalografia para criar os seus trabalhos. Mas foi mais longe! Pegou nos seus simples desenhos e repetiu-os em série no plano, aplicando múltiplas deslocações e deformações geométricas do desenho base. Estas séries repetem-se até ao infinito, unicamente limitadas pelos limites do papel!

    De facto, Escher começou por construir as suas ideias com figuras geométricas. No entanto, o truque engenhoso foi substituir as figuras por pássaros, peixes, lagartos... sem criar espaços perdidos! Mas nunca abandonou os ideais geométricos da translação, simetria, rotação e inclinação. De um modo geral, Escher substituiu as aborrecidas figuras geométricas por outras mais belas e atraentes, criando um maior sentido do uso da Geometria.

    Vida e Obra
    Se, depois desta pequena introdução, ainda estiveres interessado... poderás saber bastante mais da sua vida em World of Escher. Esta deve ser a primeira página a ser acedida, pois tem a maior concentração de informação sobre Escher. Além de uma Biblioteca (Library), inclui ainda uma loja de Souvernirs, um Concurso (experimentem), e uma Galeria de Arte. Nesta, clica sobre o ficheiro para ter uma análise e melhor reprodução.
    Se quiseres uma maior colecção de obras, dirige-te à pagina de David Mcallister ou ThinkQuest 1997 Team 11750. Em ambos os casos, não te esqueças de clicar sobre as obras, para teres uma imagem maior. Se achares que não é suficiente, ou a última pecar pela lentidão de acesso, experimenta (aconselhável) um dos dois sites de FTP: o SUNET ou o de Yale.

    A Matemática
    Perante tanta Arte, falta-nos ainda a nossa querida base científica: a Matemática. A informação sobre este tópico é quase inexistente. Mas, com muito esforço, consegui! Nesta Turma de Matemática encontras análises de várias obras, com mini-exposições da técnica usada. Observa bem as páginas introdutórias, onde se mostram estudos gerais de aplicações simples. Aprenderás mais aqui, do que nas análises singulares. Repara nas pequenas alterações feitas; nas interpenetrações de figuras contíguas, alterando-lhes a cor; na inclinação das figuras. Aconselho vivamente a visita a esta página, pois é muito atraente e cativante. Este factor é condicionante para entender a complexidade da Geometria de Escher.

    Uma outra página, mais complexa, é a de William Chow Aqui tenta-se explicar esta teoria de grafismos, para a aplicarmos a programas de computador. Infelizmente, a inexistência de imagens dificulta muito a sua compreensão. Por isso, é prioritário visitares a primeira página, e, só depois, esta.

    Um Desafio...
    Em todas as páginas, os infonautas são desafiados a criarem um gráfico à la Escher!! Toma como exemplos os de Jim McNeill ou os de HansKuiper. Esta última tem uma vasta colecção de links sobre este tema. Admira-te!!
    Mas se, ainda assim, existir dificuldade em perceber toda esta Geometria de Escher, faz como eu: tenta criar as tuas próprias figuras. Será difícil, a princípio, mas muito cativante. Este é o verdadeiro encanto desta arte.
    Para te facilitar, dar-te-ei algumas dicas. Toma o meu molde como exemplo.

esta vez trago-vos um tema diferente. É sobre o artista gráfico holandês M. C. Escher.
    Escher conseguiu aplicar a Matemática, mais precisamente a Geometria, aos seus trabalhos. As suas obras são conhecidas pelo irreal, ilusão espacial e repetição de figuras geométricas. Embora tenha sido péssimo aluno a Matemática e a Artes, Escher consegue cativar reputados matemáticos e cristalógrafos. Ele próprio afirmou que, por vezes, se sentia mais perto do domínio da Matemática que os seus colegas matemáticos! Observando cuidadosamente as suas gravuras, apercebemo-nos das estruturas complexas, criadas geometricamente, que requerem várias observações até se compreender a gravura — se a conseguirem compreender...!!
    Escher baseou-se em figuras geométricas de azulejos mouros e na Cristalografia para criar os seus trabalhos. Mas foi mais longe! Pegou nos seus simples desenhos e repetiu-os em série no plano, aplicando múltiplas deslocações e deformações geométricas do desenho base. Estas séries repetem-se até ao infinito, unicamente limitadas pelos limites do papel!

    De facto, Escher começou por construir as suas ideias com figuras geométricas. No entanto, o truque engenhoso foi substituir as figuras por pássaros, peixes, lagartos... sem criar espaços perdidos! Mas nunca abandonou os ideais geométricos da translação, simetria, rotação e inclinação. De um modo geral, Escher substituiu as aborrecidas figuras geométricas por outras mais belas e atraentes, criando um maior sentido do uso da Geometria.

    Vida e Obra
    Se, depois desta pequena introdução, ainda estiveres interessado... poderás saber bastante mais da sua vida em World of Escher. Esta deve ser a primeira página a ser acedida, pois tem a maior concentração de informação sobre Escher. Além de uma Biblioteca (Library), inclui ainda uma loja de Souvernirs, um Concurso (experimentem), e uma Galeria de Arte. Nesta, clica sobre o ficheiro para ter uma análise e melhor reprodução.
    Se quiseres uma maior colecção de obras, dirige-te à pagina de David Mcallister ou ThinkQuest 1997 Team 11750. Em ambos os casos, não te esqueças de clicar sobre as obras, para teres uma imagem maior. Se achares que não é suficiente, ou a última pecar pela lentidão de acesso, experimenta (aconselhável) um dos dois sites de FTP: o SUNET ou o de Yale.

    A Matemática
    Perante tanta Arte, falta-nos ainda a nossa querida base científica: a Matemática. A informação sobre este tópico é quase inexistente. Mas, com muito esforço, consegui! Nesta Turma de Matemática encontras análises de várias obras, com mini-exposições da técnica usada. Observa bem as páginas introdutórias, onde se mostram estudos gerais de aplicações simples. Aprenderás mais aqui, do que nas análises singulares. Repara nas pequenas alterações feitas; nas interpenetrações de figuras contíguas, alterando-lhes a cor; na inclinação das figuras. Aconselho vivamente a visita a esta página, pois é muito atraente e cativante. Este factor é condicionante para entender a complexidade da Geometria de Escher.

    Uma outra página, mais complexa, é a de William Chow Aqui tenta-se explicar esta teoria de grafismos, para a aplicarmos a programas de computador. Infelizmente, a inexistência de imagens dificulta muito a sua compreensão. Por isso, é prioritário visitares a primeira página, e, só depois, esta.

    Um Desafio...
    Em todas as páginas, os infonautas são desafiados a criarem um gráfico à la Escher!! Toma como exemplos os de Jim McNeill ou os de HansKuiper. Esta última tem uma vasta colecção de links sobre este tema. Admira-te!!
    Mas se, ainda assim, existir dificuldade em perceber toda esta Geometria de Escher, faz como eu: tenta criar as tuas próprias figuras. Será difícil, a princípio, mas muito cativante. Este é o verdadeiro encanto desta arte.
    Para te facilitar, dar-te-ei algumas dicas. Toma o meu molde como exemplo.

Comecei com uma figura muito simples que me parecesse fácil de encadear (um peixe), e, só mais tarde, crieivariações; eis o resultado. É importante que esta simples figura tenha uma simetria, mesmo que só aproximadamente, como a minha. Facilitará bastante o desenho do molde, se o inserires num rectângulo. (Se quiseres estar em vantagem relativamente a Escher, trabalha num computador.) Desenha só uma das metades da figura, criando uma segunda simetria implícita, e tenta criar novos moldes baseados no primeiro! Ao repetires o molde na tua obra, aplicando-lhe transformações geométricas, irás reparar que metade da vizinhança exterior é um cópia da metade interior do molde; parece óbvio (repara no meu molde final e na respectiva "obra"!), mas se observares os trabalhos dele, este segredo não é tão evidente. Logo, as várias silhuetas formam conjuntos sem quaisquer espaços perdidos; este ponto fulcral confunde o nosso pensamento, e é aqui que Escher demonstra a sua genialidade!

Biografia - Jean-Baptiste Fourier

(1768 - 1830) Matemático, professor e burocrata público francês, nascido em Auxerre, conhecido pela elaboração das famosas séries de Fourier e as notáveis contribuições no campo da egiptologia. Filho de um alfaiate e educado numa escola de monges beneditinos onde desde cedo demonstrou seus dotes matemáticos. Teve participação ativa na revolução francesa (1789), cujos ideais o atraíram para a política. Tornou-se professor de matemática seguidamente na École Militar de Auxerre, na recém-criada École Normale (1795) e finalmente na École Polytechnique (1796). Junto com Monge, patrocinado oficialmente, entrou para a Legião da Cultura de Napoleão (1798), acompanhou Napoleão Bonaparte ao Egito, onde dedicou-se à pesquisa arqueológica e, por isso, foi nomeado (1798) secretário do Institut d'Egypte, fundado por Napoleão no Cairo, e escreveu Description de l'Egypte.

Voltando à França exerceu vários cargos públicos, por exemplo, prefeito de Grenoble (1802), e começou a escrever enfaticamente sobre matemática. Com a queda de Napoleão, deixou a política e limitou-se à vida acadêmica em Paris, como membro de várias sociedades científicas.

Condecorado com o título de barão (1809) ganhou um prêmio da Académie por um ensaio sobre a teoria matemática da condução do calor (1812). Também formulou um importante método para análise de funções periódicas. Entrou para a Académie des Sciences (1817), tornando-se depois seu secretário perpétuo (1822), ano em que publicou o seu célebre Théorie analytique da la chaleur (1822), onde demonstrou que a condução do calor em corpos sólidos poderia ser expressa por séries matemáticas infinitas. As séries de Fourier assim obtidas aplicam-se a grande número de problemas físicos e matemáticos, inclusive como base das operações em mecânica quântica.

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